МЕДІАНА ТРИКУТНИКА ТА Її ВЛАСТИВОСТІ.

МЕДІАНА  ТРИКУТНИКА ТА Її ВЛАСТИВОСТІ.

 Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На малюнку 206 відрізок АМ₁ — медіані трикутника АВС. Точку М₁ називають основою медіани. Будь-який трикутник має три медіани. На малюнку 208 відрізки АМ₁, ВМ₂ і СМ₃ — медіани трикутника АВС.

  Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони. Трикутник має три медіани, які прийнято позначати m_а, m_b, m_с. Запам’ятаємо, що з вершини А виходить медіана m_а, з вершини В виходить медіана m_b, з вершини С виходить медіана m_с..

     Зауваження.  Правильність побудови трьох медіан в трикутнику можна перевірити за їх властивістю перетину в одній точці, яка знаходиться всередині трикутника.

Властивості медіан:

1.Кожна медіана трикутника лежить всередині трикутника, а в точці перетину медіан  ділиться на частини рахуючи від вершини, як  2:1. тобто довша частинка медіани вдвічі більша , ніж коротша частинка, яка  становить третю частинку від усієї довжини  медіани.

2. Завжди  можна відновити трикутник за трьома його медіанами.
3. Якщо відомі довжини трьох сторін трикутника, то можна  знайти довжини трьох медіан цього трикутника за такими формулами.                       

4. Точку перетину медіан трикутника називають іноді центр маси трикутника.

5.Якщо з’єднати точку перетину медіан трикутника з вершинами, то трикутник розбивається на три рівновеликі трикутники, тобто у цих трикутників рівні площі.

6. Медіана прямокутного трикутника, що проведена до найдовшої сторони, рівна половині цієї сторони та розділяє прямокутний трикутник на два рівнобедрені трикутники.

7.Кожна медіана трикутника розрізає його на два рівновеликих трикутника.

8. Площа трикутника, що складений з медіан даного трикутника, рівна три чверті площі даного трикутника.

9.Сума трьох векторів, що виходять з точки перетину медіан до вершин трикутника , рівна нулю.

10.Точка перетину медіан при проектуванні трикутника на площину переходить в точку перетину медіан спроектованого трикутника. Зазначимо, що такою властивістю не володіють точки перетину бісектрис та висот.

11.Завжди існує трикутник, сторони якого рівні та паралельні медіанам даного трикутника. 

Властивість медіан трикутника:

У будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (вона називається центроїдом трикутника) і в цій точці поділяються у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

На малюнку 207 точка М — центроїд трикутника.

Тоді 

Довжину медіани трикутника m_а проведену до сторони а, можна знайти за формулою:

де b і с — сторони трикутника, між якими проходить медіана.

Приклад. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, що проведена до бічної сторони — 5 см. Знайдіть довжини бічних сторін.

Розв’язання. За умовою основа а = 4 см, m_а = 5 см. Позначимо бічні сторони b = с = х.

Тоді маємо:  х = 6 (враховуючи х > 0 ). Отже, довжина бічної сторони 6 см.