Дотична до кола, її властивість

Дотична до кола, її властивість

На площині коло і пряма можуть перетинатися, тоді вони мають дві спільні точки. У цьому випадку пряма називається січною для кола.

Коло і пряма можуть не перетинатися, тобто не мати спільних точок.

Коло і пряма можуть мати лише одну спільну точку. У цьому випадку говорять, що пряма є дотичною до кола.

Пряма, що має одну спільну точку з колом, називається дотичною до кола. Спільна точка називається точкою дотику.

Радіус кола, проведений у точку дотику, перпендикулярний дотичній.

Два різні кола на площині можуть перетинатися, тоді вони мають дві спільні точки.

Два кола на площині можуть не перетинатись, тоді вони не мають спільних точок.

Два кола на площині можуть мати лише одну спільну точку, тоді говорять, щокола дотикаються. Такі кола мають спільну дотичну, проведену в точку дотику.

Дотик кіл вважають внутрішнім, якщо їхні центри лежать з одного боку від їх спільної дотичної, проведеної в точку дотику кіл.

Дотик кіл вважають зовнішнім, якщо їхні центри лежать з різних боків від спільної дотичної, проведеної в точку дотику.

Кола, які мають спільний центр, називаються концентричними колами. Якщо у концентричних кіл різні радіуси, то такі кола не перетинаються і не можуть дотикатися одне одного.

Поради до розв’язування задач.

1. Якщо з точки поза колом проведені дві дотичні до кола, то відрізок, що з’єднує цю точку з центром кола, поділяє кут між дотичними навпіл.
2. Радіуси кіл, що дотикаються, проведені в точку дотику, лежать на одній прямій — лінії центрів.
3. Якщо кола дотикаються зовнішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює сумі їх радіусів. Якщо кола дотикаються внутрішньо, то відстань між центрами цих кіл дорівнює різниці їх радіусів.

Дотичною до кола називають пряму, яка має одну спільну точку з колом. Цю точку називають точкою дотику.

На малюнку 185 пряма а — дотична до кола із центром у точці О; точка А — точка дотику.

Властивості дотичної до кола:

1. Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку дотику.

На малюнку 185: а  ОА.

2. Відстань від центра кола до дотичної до цього кола дорівнює радіусу кола.

На малюнку 185: відстань від центра кола точки О до дотичної а дорівнює радіусу кола ОА.

3. Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола рівні між собою.

На малюнку 186: до кола із точки А проведено дві дотичні; М і N — точки дотику. Тоді AM =AN.

Пряму, яка має з колом дві спільні точки називають січною. На малюнку 187 пряма m — січна до кола.

Властивості дотичної та січної.

1. Якщо з точки S, яка знаходиться поза колом, провести січну, яка перетинає коло в точках А і В та січну SС, де С — точка дотику, то

SС² = SА ∙ S8В (мал. 188).

2. Якщо з точки S провести дві січні, одна з яких перетинає коло в точках А і В, а друга в точках М і N, то

SА ∙ SВ = SМ ∙ SN (мал. 189).

Приклад. З точки S, що знаходиться поза колом, до кола проведено січну, що перетинає коло в точках А і В та січну SC завдовжки 6 см. AB = 5 см. Знайдіть SA, якщо SA < SB.

Розв’язання (мал. 188). Нехай SA = х см, тоді SB = х + 5 (см). Маємо SC² = SA ∙ SB; 6² = х(х + 5); х² + 5 - 36 = 0. Враховуючи х > 0, маємо х = 4 (см). Отже, SA = 4 (см).