Рівність геометричних фігур. Ознаки рівності трикутників

Рівність геометричних фігур. 

Ознаки рівності трикутників

Фігури, які можна сумістити накладанням одна на одну, називаються рівними.

Якщо кожна з двох фігур рівна третій фігурі, то перші дві фігури рівні.

Для будь-якого трикутника існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні щодо заданого променя.

Рівні трикутники мають рівні відповідні кути й рівні відповідні сторони.

Існує три ознаки рівності трикутників, записані як теореми:

Перша ознака. Якщо дві сторони й кут між ними одного трикутника відповідно рівні до двох сторін і кута між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака. Якщо сторона й прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Щоб довести, що два трикутники рівні, відшукайте в них дві рівні відповідні сторони трикутників і рівні кути між ними, або по одній рівній стороні і рівні два кути, що прилягають до них, або порівняйте три сторони одного і три сторони другого трикутника. Якщо вони рівні, то і трикутники рівні.

Перша ознака рівності трикутників. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнює відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні (мал. 202).

Друга ознака рівності трикутників. Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні (мал. 203).

Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (мал. 204).

Приклад. Чому дорівнює градусна міра кута С (мал. 205), якщо АDВ = СDВ, АВD = СВD, А = 80°.

Розв’язання. Сторона ВD є спільною стороною трикутників АBD і СВD. За умовою ADB = СDВ і АВD = СВD. Тому за другою ознакою рівності трикутників ∆АВD = ∆СDВ. Рівними є всі відповідні елементи цих трикутників: C = А = 80°

Це цікаво.

Відношення рівності важливе для математики. Воно має такі властивості:

Кожна фігура рівна сама собі.

Якщо перша фігура рівна другій фігурі, то друга фігура рівна першій фігурі.

Якщо перша фігура рівна другій фігурі, а друга фігура рівна третій фігурі, то перша фігура і третя фігура також рівні між собою.

Зверніть увагу!

З того, що трикутники рівні, випливає, що рівні їх периметри і площі. Але з того, що у деяких трикутників рівні периметри або площі, не випливає, що ці трикутники рівні.

Поради до розв’язування задач на трикутники.

Якщо в умові задачі говориться, що задані трикутники рівні, то можна записати шість рівностей: три — про рівність відповідних сторін трикутників і три — про рівність відповідних кутів трикутників. Запишіть тільки ті з них, які пов’язані із заданими або шуканими елементами трикутників. Стежте за тим, щоб відповідні рівні кути у запису рівності трикутників займали однакові позиції.