Кут. Властивості кутів

Кут.

Кут — це геометрична фігура, яка складається з точки і двох променів, що виходять з цієї точки.

Промені називають сторонами кута, а їх спільний початок — вершиною кута.

На малюнку 145 зображено кут з вершиною О і сторонами О А і ОВ. Такий кут можна назвати кутом О, або кутом АОВ, або кутом ВОА. У другому та третьому варіанті назви кута буква О, що позначає вершину кута, ставиться посередині. Слово «кут» можна замінити знаком , записавши кут так: O, або AOB, або BOA.

Розгорнутий кут — це кут, сторони якого є доповняльними променями (мал. 146).

Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

На малюнку 147 промінь ОК ділить АОВ на два кути: ВОК і КОА. Можна помітити, що

Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Приклад. Промені ОК і ОМ проходить між сторонами кута АОВ, який дорівнює 120°. ZKOB = 80°, AOM = 90°. Знайдіть градусну міру кута КОМ.

Розв’язання (мал. 148). 

Тоді 

Розрізняють наступні види кутів. Кут називають розгорнутим, якщо його градусна міра дорівнює 180°, прямим — якщо його градусна міра дорівнює 90°, гострим — якщо він менший від прямого, тупим — якщо він більший від прямого, але менший від розгорнутого (мал. 149).

 Бісектриса кута

Кутом називають фігуру, що складається з точки (вершини кута) і двох різних променів (сторін кута), які виходять із цієї точки.

Кут можна позначати однією великою літерою за назвою вершини кута або трьома великими латинськими літерами, одна з яких позначає вершину кута, а дві інші позначають точки, кожна з яких лежить на одній зі сторін кута (зверніть увагу, що буква, яка позначає вершину, записується середньою).

Кут можна позначати також двома маленькими латинськими літерами за назвами променів, що є сторонами кута.

Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Кути виміряються за допомогою транспортира.

Якщо промінь виходить із вершини кута й перетинає який-небудь відрізок із кінцями на сторонах кута, то говорять, що такий промінь проходить між сторонами даного кута.

Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається променем, що проходить між його сторонами.

Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову градусну міру.

Розгорнутим називається кут, сторони якого є доповняльними променями. Градусна міра розгорнутого кута 180 градусів. Кут, який має градусну міру 90 градусів, називається прямим кутом.

Кут, градусна міра якого менша від 90 градусів, називається гострим кутом.

Кут, градусна міра якого більша за 90 градусів, але менша від 180 градусів, називається тупим кутом.

Зверніть увагу!

Від будь-якого променя в одну сторону від нього можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою від 180, і тільки один.

Бісектриса кута - це промінь, що виходить із вершини кута, проходить між його сторонами й ділить кут на два рівні кути.

Запам’ятайте! Рівні кути мають рівні градусні міри. Якщо два кути мають рівні градусні міри, то ці кути рівні.

Більший кут має більшу градусну міру. З двох кутів більший той кут, градусна міра якого більша.

Це цікаво.

Кут у 30° можна побачити на механічному годиннику — це кут між годинною і хвилинною стрілками, наприклад, о 12 годині 5 хвилин.

Кут у 60° можна побачити в рівносторонньому трикутнику — кожен кут такого трикутника має градусну міру 60°.

Кут у 90° можна побачити у приміщеннях, наприклад, кут між стіною і підлогою.

Кут у 120° можна побачити у структурі бджолиних сот.

Кут у 360° проходить годинна стрілка за 1 годину.

ЗАДАЧІ НА КУТАХ

Варіант 1

1.      Порівняти величини: а) п’ята частина прямого кута  та чверть тупого кута;  б) чверть розгорнутого кута та третина кута 120^о; в) три чверті 64^о та третина 66^о.

2.      Кут АВС = 11^о поділили променем ВК  на дві частини так, що величина одного кута на 9^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів АВК та СВК. Скільки  разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

3.      Кут MNL = 64^о поділили променем NK на дві частини так, що величина одного кута на 40^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів MNK та KNL.  Скільки разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

4.      Кут NSP = 88^о поділили променем ST на дві частини так, що величина одного кута  на 16^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів NST та TSP.  Чому дорівнює міра  кута між бісектрисами кутів  NST та TSP?

5.      Кут DEF = 80^о поділили променем EC на дві частини так, що величина одного кута у 4 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів CED та CEF.  Яка міра більше:  половина меншого кута із двох утворених кутів,  чи чверть більшого кута із двох утворених кутів?

6.      Кут SXZ = 72^о поділили променем XP на дві частини так, що величина одного кута у 5 разів більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів SXP та PXZ. Чи можна за допомогою кутів SXP та PXZ  відкласти кут, мірою 24^о?

7.      Кут  GDH = 144^о поділили променем DE на дві частини так, що довжина одного відрізка у 3 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів GDE та EDH. Як можна за допомогою відрізків  GE та EH  відкласти кут, мірою 8^о?

Варіант 2

1.      Порівняти величини: а) три п’ятих прямого кута  та половина  прямого кута;  б) чверть розгорнутого кута та третина кута 144^о; в) три чверті 44^о та третина 84^о.

2.      Кут АВС = 13^о поділили променем ВК  на дві частини так, що величина одного кута на 7^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів АВК та СВК. Скільки  разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

3.      Кут MNL = 70^о поділили променем NK на дві частини так, що величина одного кута на 40^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів MNK та KNL.  Скільки разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

4.      Кут NSP = 88^о поділили променем ST на дві частини так, що величина одного кута  на 16^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів NST та TSP.  Чому дорівнює міра  кута між бісектрисами кутів  NST та TSP?

5.      Кут DEF = 64^о поділили променем EC на дві частини так, що величина одного кута у 3 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів CED та CEF.  Яка міра більше:  половина меншого кута із двох утворених кутів,  чи чверть більшого кута із двох утворених кутів?

6.      Кут SXZ = 72^о поділили променем XP на дві частини так, що величина одного кута у 8 разів більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів SXP та PXZ. Чи можна за допомогою кутів SXP та PXZ  відкласти кут, мірою 24^о?

7.      Кут  GDH = 144^о поділили променем DE на дві частини так, що довжина одного відрізка у 17 разіви більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів GDE та EDH. Як можна за допомогою відрізків  GE та EH  відкласти кут, мірою 8^о?

ЗАДАЧІ НА КУТАХ

Варіант 3

1.      Порівняти величини: а) шоста частина прямого кута  та чверть рзгорнутого кута;  б) чверть розгорнутого кута та третина кута 112^о; в) три чверті 64^о та третина 63^о.

2.      Кут АВС = 11^о поділили променем ВК  на дві частини так, що величина одного кута на 7^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів АВК та СВК. Скільки  разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

3.      Кут MNL = 100^о поділили променем NK на дві частини так, що величина одного кута на 40^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів MNK та KNL.  Скільки разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

4.      Кут NSP = 98^о поділили променем ST на дві частини так, що величина одного кута  на 28^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів NST та TSP.  Чому дорівнює міра  кута між бісектрисами кутів  NST та TSP?

5.      Кут DEF = 70^о поділили променем EC на дві частини так, що величина одного кута у 4 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів CED та CEF.  Яка міра більше:  половина меншого кута із двох утворених кутів,  чи чверть більшого кута із двох утворених кутів?

6.      Кут SXZ = 72^о поділили променем XP на дві частини так, що величина одного кута у 7 разів більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів SXP та PXZ. Чи можна за допомогою кутів SXP та PXZ  відкласти кут, мірою 24^о?

7.      Кут  GDH = 144^о поділили променем DE на дві частини так, що довжина одного відрізка у 2 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів GDE та EDH. Як можна за допомогою відрізків  GE та EH  відкласти кут, мірою 8^о?

Варіант 4

1.      Порівняти величини: а) половина прямого кута  та половина тупого кута;  б) чверть розгорнутого кута та третина кута 150^о; в) три чверті 84^о та третина 96^о.

2.      Кут АВС = 13^о поділили променем ВК  на дві частини так, що величина одного кута на 7^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів АВК та СВК. Скільки  разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

3.      Кут MNL = 60^о поділили променем NK на дві частини так, що величина одного кута на 40^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів MNK та KNL.  Скільки разів можна послідовно відкласти менший кут у більшому куту?

4.      Кут NSP = 48^о поділили променем ST на дві частини так, що величина одного кута  на 16^о більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів NST та TSP.  Чому дорівнює міра  кута між бісектрисами кутів  NST та TSP?

5.      Кут DEF = 60^о поділили променем EC на дві частини так, що величина одного кута у 4 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів CED та CEF.  Яка міра більше:  половина меншого кута із двох утворених кутів,  чи чверть більшого кута із двох утворених кутів?

6.      Кут SXZ = 72^о поділили променем XP на дві частини так, що величина одного кута у 17 разів більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів SXP та PXZ. Чи можна за допомогою кутів SXP та PXZ  відкласти кут, мірою 24^о?

7.      Кут  GDH = 144^о поділили променем DE на дві частини так, що довжина одного відрізка у 23 рази більша, ніж величина другого кута. Знайти міри кутів GDE та EDH. Як можна за допомогою відрізків  GE та EH  відкласти кут, мірою 8^о?