Основні елементи трикутника

Основні елементи трикутника

Означення: Трикутником називається геометрична фігура, яка утворена трьома заданими точками, що не лежать на одній прямій, які з’єднані трьома прямолінійними відрізками.

1.1 Вершини та сторони трикутника:

    Вершина трикутника – це спільна точка двох сторін трикутника. Трикутник має три вершини, які прийнято позначати будь-якими великими латинськими літерами. Як правило, використовують такі літери: А, В, С.

  Помітка: 1. Не завжди довільно взяті на площині три точки будуть вершинами трикутника, необхідно, що ці три точки не знаходилися на одній прямій.

2. Як правило, в планіметрії розглядаються трикутники, що задані трьома вершинами на площині, проте  треба пам’ятати, що поверхня на якій розглядається трикутник може мати випуклість, наприклад, уявіть трикутник, яких заданий трьома вершинами на кулі.

3. Три вершини трикутника задають тільки одну площину (поверхня без випуклостей та опуклостей).  Отже, запам’ятаємо, що три точки, які не лежать на одній прямій, у площині задають трикутник однозначно.

  Сторона трикутника – це відрізок, який сполучає дві вершини трикутника. Трикутник має три сторони, довжини яких прийнято позначати  маленькими латинськими літерами. Як правило,  назви сторін визначаються  так: навпроти вершини А лежить сторона a, навпроти вершини В лежить сторона b, навпроти вершини С лежить сторона с.  Сторони трикутника називають сусідніми, якщо вони мають спільну вершину.

  Помітка: 1. Вершина трикутника А та сторона трикутника a являються протилежними. Так само вважають протилежними вершину В та сторону b і вершину С  та сторону с.

2. Сторони трикутника являються межею для внутрішньої та зовнішньої частин трикутника.

1.2 Нерівність  трикутника

1. Будь-які три відрізки не завжди можуть утворити трикутник. На три сторони трикутника повинна виконуватися так звана нерівність трикутника: найдовша сторона трикутника завжди менша  суми довжин  двох коротких сторін трикутника.

 2. Слід мати на увазі, що на площині однозначно трикутники можна задати: а) двома відрізками, що мають спільний кінець;  б) відрізком та точкою , яка не лежить на прямій, що містить цей відрізок.

3. Класифікацію трикутників можна здійснювати за кількістю рівних  сторін. Трикутник з різними довжинами трьох сторін називають різностороннім трикутником. Трикутник з двома рівними сторонами називається рівнобедреним трикутником. Правильним (рівностороннім) трикутником називають трикутник з трьома рівними сторонами. Досить часто в математичній літературі можна зустріти іншу назву правильного трикутника, а саме “рівносторонній”.

1.3 Кути трикутника

 Кут трикутника – це внутрішня частина  кута, що обмежена двома  сторонами трикутника, які мають спільну вершину. Трикутник має три кута, величини яких прийнято позначати грецькими літерами   альфа: α, бета:  β, гама: γ. Як правило, α є величиною кута з вершиною А, β є величиною кута з вершиною В, γ є величиною кута з вершиною С.

1.4 Властивості кутів трикутника

    1. Будь-які три кути не завжди утворюють трикутник. Але, якщо сума трьох  кутів у площині становить 180⁰, тоді ці три кути задають нескінчену множину подібних трикутників, серед яких  будь-які два трикутники мають відповідні пропорційні довжини сторін.

  2. У будь-якому трикутнику напроти більшого кута лежить найдовша сторона, напроти найкоротшої сторони трикутника лежить найменший кут, напроти середньої за довжиною сторони знаходиться середній за мірою кут трикутника.

3. Міра найбільшого кута трикутника покладена в основу класифікації трикутників за кутами. Трикутник називають тупокутним, якщо величина найбільшого кута цього трикутника більша 90⁰. Трикутник називають прямокутним, якщо, якщо величина найбільшого кута цього трикутника рівна 90⁰. Трикутник називають гострокутним, якщо величина найбільшого кута цього трикутника менша 90⁰. Напроти рівних сторін трикутника знаходяться рівні кути трикутника.

4. Як правило, до трикутників застосовують одночасно дві класифікації, як за довжинами сторін, так і за величиною найбільшого кута. Усі трикутники на площині можна розділити: рівнобедрені та різносторонні.

 Рівнобедрені трикутники можна поділити на  три множини:

    1.Рівнобедрені тупокутні трикутники.

    2. Рівнобедрені прямокутні трикутники.

    3. Рівнобедрені гострокутні трикутники (до цієї множини входить правильний

        трикутник).

Різносторонні трикутники теж можна поділити на три множини:

    1. Різносторонні тупокутні трикутники.

    2. Різносторонні прямокутні трикутники.

    3. Різносторонні гострокутні трикутники.

Слід запам’ятати, що не існує рівностороннього прямокутного трикутника та рівностороннього тупокутного трикутника.

Трикутник і його основні елементи.

Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які сполучають ці точки.

 На малюнку 196 зображено трикутник АВС. Його вершинами є точки А, В і С, а сторонами відрізки АВ, ВС і СА. Символом ∆можна заміняти слово «трикутник».

Кутами трикутника АВС називають кути ВАС, АВС і ВСА. Часто їх позначають однією буквою A, B і C. Сторони трикутника також можна позначити малими буквами латинського алфавіту а, b і с відповідно до позначення протилежних кутів.

Периметром трикутника називають суму довжин усіх сторін трикутника. Периметр позначають буквою Р, наприклад, периметр трикутника АВС, позначають так: P_∆ABC. Маємо Р_∆ABC = =АВ + ВС + СА.

Приклад. Одна із сторін трикутника на 3 см менша за другу і у 2 рази менша за третю. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 27 см.

Розв’язання. Позначимо довжину першої сторони трикутника — х см, тоді довжина другої дорівнює (х + 3) см, а третьої — 2х см. За умовою х + (х + 3) + 2х = 27; 4х = 24; х = 6 см. Отже, перша сторона трикутника дорівнює 6 см, друга — 9 см, третя — 12 см.