Взаємне розміщення двох кіл.

Взаємне розміщення двох кіл.

Розглянемо взаємне розміщення двох кіл, центри яких точки О₁ і O₂, а радіуси відповідно r₁ іr₂, де r₁ ≥ r₂.

а) Два кола не перетинаються, тобто не мають спільних точок (мал. 190 і мал. 191).

Тоді О₁O₂ > r₁ + r₂ (мал. 190) або О₁O₂ < r₁ - r₂ (мал. 191).

б) Два кола мають одну спільну точку (мал. 192 і мал. 193).

В цьому випадку кажуть, що кола дотикаються, а спільну точку називають точкою дотику.

Можливі два випадки розміщення: дотик називають зовнішнім, якщо центри кіл розміщенні по різні боки від точки дотику (мал. 192) і внутрішнім, якщо по один бік від спільної точки (мал. 193).

У випадку зовнішнього дотику:

1) О₁O₂ = r₁ + r₂.

2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.

3) l  О₁O₂.

У випадку внутрішнього дотику:

1) О₁O₂ = r₁ - r₂.

2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.

3) l  О₁O₂.

в) Два кола мають дві спільні точки (мал. 194).

В цьому випадку: r₁ - r₂ < О₁O₂ < r₁ + r₂.

Приклад 1. Відстань між центрами двох кіл О₁O₂ = 9 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють: 1) r₁ = 6 см; r₂ = 3 см; 2) r₁ = 7 см; r₂ = 4 см; 3) r₁ = 2 см; r₂ = 5 см.

Розв’язання. 1) 9 = 6 + 3; О₁O₂ = r₁ + r₂; зовнішній дотик.

2) 7 – 4 < 9 < 7 + 4; r₁ - r₂ < О₁O₂ < r₁ + г₂; кола перетинаються.

3) 9 > 2 + 5; О₁O₂ > r₁ + r₂; кола не перетинаються.

Приклад 2. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами 18 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 4:5.

Розв’язання. Позначимо радіуси кіл r₁ = 4х см; r₂ = 5х см. Тоді r₁ + r₂ = 18; 4х + 5x = 18; 9х = 18; х = 2. Отже, r₁ = 4 ∙ 2 = 8 (см), r₂ = 5 ∙ 2 = 10 (см).