АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ.

АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ.

Аксіоми планіметрії — це твердження про основні властивості найпростіших геометричних фігур, прийняті як вихідні положення.

Нагадаємо деякі вже відомі нам аксіоми.

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

II. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.

V. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

VII. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Ще одна важлива аксіома — аксіома паралельності прямих або аксіома Евкліда буде сформульована потім.



Аксіоми і теореми

В основі науки геометрії лежать твердження, які не потребують доведення. Вони називаютьсяаксіомами.

Аксіоми планіметрії — це основні властивості найпростіших геометричних фігур.

Аксіомами планіметрії є:

1. Для будь-якої прямої існують точки, що належать їй, і точки, що не належать їй.

2. Через будь-які дві різні точки можна провести пряму і лише одну.

3. Із трьох точок на прямій одна і лише одна лежить між двома іншими.

4. Кожний відрізок має певну довжину.

5. Кожний кут має певну градусну міру.

6. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній прямій, і лише одну.

Твердження, які потребують доведення їх істинності за допомогою аксіом або логічних міркувань, називаються теоремами. Наприклад, теоремою є твердження: Внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній рівні.

Найважливіші теореми, за допомогою яких можна перевірити виконання якоїсь властивості, називаються ознаками. Наприклад: Якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусам, то задані прямі паралельні.

Історичні відомості.

Слово «аксіома» у перекладі з грецької означає «гідність, повага, авторитет», що в переносному розумінні означає: внаслідок свого авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Аристотель. Тривалий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які внаслідок їх очевидності можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надали ширшого значення: аксіома — це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.

Як навчитися  доводити  геометричні твердження?

Розв'язування задач — це одна з активних форм навчання, у процесі якої учні ознайомлюються з певними математичними закономірностями, намагають­ся дещо по-іншому подивитися на вже відомі їм теоре­тичні факти, вчаться самостійно здобувати знання, розвивають логічне мислення.

Аналіз і синтез під час розв'язування задач на доведення

Синтетичне доведення — це міркування від умови задачі до її висновку. При цьому кожне попереднє су­дження є достатньою умовою для наступного. Якщо умовою задачі є твердження  Т₁, а висновком — Тn, то схематично цей спосіб міркувань можна зобразити  у вигляді логічного ланцюжку так:

Т₁  Т₂    Т₃   Т₄   Т₅   Т₆   Т₇  …..  Тn   .

Для аналітичного доведення характерним є перехід від висновку до умови задачі.

Розрізняють два види ана­лізу. Перший вид характеризується тим, що для вста­новлення справедливості твердження Т_n прагнуть знай­ти таку умову (одне або кілька тверджень) Т_r{, з якої випливає Т_n, потім для умови Т_n-1 знаходять умову Тn-₂, наслідком якої є Тn-₃, і т. д. доти, поки не приходять до тверджень, установлених раніше, а також заданих умо­вою Т₁ задачі. Схематично цей вид аналізу можна запи­сати так:

Т_n  ……   Т₄   Т₃   Т₂   Т₁  

Другий вид аналізу полягає в тому, шо припускають істинність висновку Т_n

 задачі та шукають умову Т_n-1,, яка є наслідком припущення. Потім шукають наслідок Т_n-2  умови Т_n-1 і т. д. доти, поки не приходять до тверджен­ня, істинність якого  відома  або задана умовою задачі. Цей вид аналізу схематично можна зобразити так:

            Т_n   Т_n-1   Т_{n-2     ……}      Т₂   Т₁

Оскільки істинність наслідку не гарантує істинності умови, то цей вид аналізу треба обов'язково доповнювати перевіркою оберненості суджень за допомогою синтезу.

Структурно-схематичне разв'язування геометричних задач на доведення

Щоб навчити учнів розв'язувати задачі на доведен­ня, необхідно, на мою думку, сконцентрувати увагу на аналітико-синтетичному способі підбору логічних ланцюгів. З цією метою можна замінити традиційні словесно-сим­вольні розв'язання на  якісь структурно-схематичні ланцюжки доведення, які зрозумілі дітям.

Структурно-схематична форма запису розв'язан­ня — це математична модель, що містить ланцюжок тверджень, пов'язаних між собою лініями зі стрілка­ми, які показують напрями зв'язків між окремими судженнями. Тому розв'язування задачі — це ство­рення моделі. Учні, які оволоділи уміннями ство­рювати моделі та оперувати ними, мають можливість побачити реальний шлях, що приведе до розв'язан­ня задачі.

Розв'язуючи задачу структурно-схематичним спо­собом, учитель основний акцент робить на пошуку доведення, обов'язково фіксуючи кожний крок. Пе­рехід від структурно-схематичного способу запису розв'язання до словесно-символьного можна вико­нувати в усній формі, оскільки при цьому відбуваєть­ся тільки формування вмінь учнів правильно ви­словлювати свої думки.

Традиційно на уроці геометрії вчитель, як прави­ло, розв'язує конкретну задачу, не турбуючись про обгрунтування того, чому треба міркувати так, а не інакше. Переважно етап моделювання розв'язання виконується усно, учні охоче погоджуються з ходом розв'язування в цілому, але не відчувають зв'язків між окремими умовиводами. Здебільшого діти інтуїтивно здогадуються, що треба робити.

Розв'язуючи задачі структурно-схематичним спо­собом, діти, у яких ще недостатньо розвинене абст­рактне мислення, ознайомлюються з суттю логіч­них доведень, вчаться правильно міркувати.

Успішне навчання розв'язування задач на дове­дення залежить від:

·         систематичного розв'язування задач структурно-схематичним способом;

·         доцільно дібраної системи задач на доведення до кожної теми, що вивчається.

Структурно-схематичне розв'язування задач на доведення під час вивчення теми «Ознаки рівності трикутників» Успіх у розв'язуванні задач залежить від знання теорії, узагальнених схем (алгоритмів), що в сукуп­ності складають опорні знання. Крім традиційних теорем цього розділу, треба добитися засвоєння уч­нями двох узагальнених схем.

1.      Схема розв'язування задач на доведення:

а)      аналіз умови, виконання малюнка;

б)     створення моделі розв'язання (структурно-схематичне розв'язання);

в)     словесно-символьний запис розв'язання;

г)      аналіз розв'язання, пошук іншої моделі розв'я­зання.

2.      Схема доведення рівності відрізків (кутів):

а)      знаходження (побудова) трикутників, елемен­тами яких є ці відрізки (кути);

б)     доведення рівності знайдених трикутників;

              в)      висновок про рівність відповідних елементів рівних трикутників.