Бісектриси трикутника.
Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони.
На малюнку 208 відрізок АL1 — бісектриса трикутника АВС. Точку L1 називають основою бісектриси АL1. Будь-який трикутник має три бісектриси. На малюнку 209 АL1, ВL2, СL3 — бісектриси трикутника.
Бісектриса трикутника
Бісектриса трикутника – це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає
вершину трикутника з точкою на протилежній стороні. Трикутник має три
бісектриси, які прийнято позначати lа, lв, lс. Запам’ятаємо, що з вершини А виходить бісектриса lа, з вершини В виходить
бісектриса lв з вершини С виходить бісектриса lс.. Отже, бісектриса
трикутника ділить величини кутів трикутника навпіл.
Зауваження. Необов’язково бісектриса ділить протилежну сторону навпіл. Але у рівнобедреному трикутнику, якщо
бісектриса проведена до основи обов’язково поділить навпіл крім кута і
сторону, яку перетинає.
Властивості бісектриси.
- .Будь-яка бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника. Тобто, якщо бісектриса проведена з вершини В та перетинає протилежну сторону в точці D,
- Усі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, тобто, точка перетину бісектрис – це центр кола, що вписаний в трикутник.
- Центральний кут вписаного в трикутник кола, сторони якого проходять через вершини трикутника, рівний сумі прямого кута та половині кута через який не проходять сторони центрального кута.
- У довільному трикутнику бісектриса проходить між висотою та медіаною трикутника.
- За трьома сторонами трикутника можна знайти довжини бісектрис трикутника.
- Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони в точці, відстані від якої до кінців цієї сторони пропорційні прилеглим сторонам.
- Продовження бісектрис внутрішніх кутів трикутника проходить через центри зовні вписаних кіл(коло, яке дотикається до однієї сторони та до продовження двох інших сторін трикутника), які являються точками перетину бісектрис зовнішніх кутів цього трикутника.
Властивості бісектриси трикутника.
1. У будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці (вона називається інцентром).
На малюнку 209 точка І — інцентр трикутника.
2. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропдрційні двом іншим сторонам.
На малюнку 208 АL1 — бісектриса трикутника. Тоді
Звідси слідує, що
Приклад 1. У трикутнику АВС АВ = 6 см; АС = 12 см; АL1 — бісектриса. Більший з відрізків, на які бісектриса АL1 ділить сторону ВС, дорівнює 6 см. Знайдіть ВС.
Розв’язання. Оскільки 
Тоді виходячи з умови L1С = 6 см, маємо 
Тоді виходячи з умови L1С = 6 см, маємо
Тоді 
Довжину бісектриси трикутника lа, проведеної до сторони а (мал. 208) можна знайти за формулами:
де b, с — сторони трикутника; b1 і с1 — відрізки сторони а, на які її ділить бісектриса;
Приклад 2. Обчисліть бісектрису АL1 трикутника АВС, якщо АВ = 12 см; АС = 15 см; ВС = 18 см.
Розв’язання (мал. 208). Позначимо ВL1 = х, тоді L1С = 18 - х. За властивістю бісектриси маємо
Отже, ВL1 = 8 см; L1С = 10 см.
За формулою для обчислення довжини бісектриси маємо 
Немає коментарів:
Дописати коментар