Висота, медіана, бісектриса трикутника

Висота, медіана, бісектриса трикутника

Чудовими лініями трикутника називають такі відрізки: висоту, медіану, бісектрису.

Висота трикутника, опущена з даної вершини, — це перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.

У кожному трикутнику можна провести три висоти. У гострокутному трикутнику всі висоти лежать усередині трикутника.

У тупокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, лежать зовні трикутника.

У прямокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, збігаються з його сторонами.

Медіана трикутника, проведена з даної вершини, — це відрізок, що з'єднує цю вершину з серединою протилежної сторони.

У кожному трикутнику можна провести три медіани. Медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці.

Медіана ділить сторону трикутника на рівні частини.

Бісектриса трикутника, проведена з даної вершини, - це відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні трикутника. Бісектриса ділить кут трикутника на два рівні кути.

У кожному трикутнику можна провести три бісектриси.

У рівнобедреного трикутника висота, медіана і бісектриса, проведені до основи трикутника, збігаються.

У рівносторонньому трикутнику медіани, бісектриси і висоти збігаються.

Це цікаво.

Точка перетину висот трикутника називається його ортоцентром. У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника. У прямокутному — у вершині прямого кута, у тупокутному трикутнику — поза трикутником.

Точка перетину медіан трикутника називається барицентром і є центром ваги трикутника.

Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На малюнку 206 відрізок АМ₁ — медіані трикутника АВС. Точку М₁ називають основою медіани. Будь-який трикутник має три медіани. На малюнку 208 відрізки АМ₁, ВМ₂ і СМ₃ — медіани трикутника АВС.

Властивість медіан трикутника:

у будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (вона називається центроїдом трикутника) і в цій точці поділяються у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

На малюнку 207 точка М — центроїд трикутника.

Тоді 

Довжину медіани трикутника m_а проведену до сторони а, можна знайти за формулою:

де b і с — сторони трикутника, між якими проходить медіана.

Приклад. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, що проведена до бічної сторони — 5 см. Знайдіть довжини бічних сторін.

Розв’язання. За умовою основа а = 4 см, m_а = 5 см. Позначимо бічні сторони b = с = х.

Тоді маємо:  х = 6 (враховуючи х > 0 ). Отже, довжина бічної сторони 6 см.