Висоти трикутника. Властивість висоти рівнобедреного трикутника

Висоти трикутника.

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

На малюнку 210 відрізок АН₁ — висота ∆АВС. Точку Н₁ називають основою висоти. Будь-який трикутник має три висоти. На малюнку 211 відрізки АН₁, ВН₂, СН₃ — висоти гострокутного ∆АВС, на малюнку 212 ці відрізки — висоти прямокутного ∆АВС з прямим кутом С, а на малюнку 213 ці відрізки — висоти тупокутного трикутника із тупим кутом А.

Висота трикутника

Висота трикутника – це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. Трикутник має три висоти, які позначають h_a, h_b, h_c. Запам’ятайте, з вершини А проходить висота h_a, з вершини В опускається висота h_b, а з вершини С виходить висота h_c.

Зауваження. 1.  Прямі що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці (ортоцентр). У прямокутному трикутнику ця точка співпадає з вершиною прямого кута, у тупокутному трикутнику ортоцентр знаходиться зовні трикутника за вершиною тупого кута, в гострокутному трикутнику ортоцентр знаходиться в середині трикутника ближче до вершина більшого кута. У прямокутному трикутнику дві висоти співпадають з двома короткими сторонами(катетами) трикутника, ортоцентр співпадає з вершиною прямого кута. У тупокутного трикутника дві висоти лежать зовні трикутника, а третя найкоротша висота лежить всередині трикутника.

Властивості висот трикутника

1.  Найбільша висота трикутника проведена до його найкоротшої сторони, а найменша висота до найдовшої сторони цього трикутника.
2. Висоти трикутника обернено пропорційні його сторонам.
3. Кут між висотою та бісектрисою, що проведені з однієї вершини, рівний піврізниці двох інших кутів цього трикутника.
4. За трьома висотами можна відновити трикутник.
5. Якщо відомими сторонами трикутника можна обчислити його висоти.
6. Між висотами та радіусом вписаного кола існує залежність. 

Властивість висот трикутника:

у будь-якому трикутнику три висоти або їх продовження перетинаються в одній точці (її називають ортоцентром трикутника).

На малюнках 211 і 213 точка Н — ортоцентр трикутника, на малюнку 212 ортоцентр трикутника збігається із точкою С — вершиною прямого кута ∆АВС.

Властивість медіани рівнобедреного трикутника.

Важливою є наступна властивість медіани рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є також бісектрисою і висотою.

На малюнку 214 зображено рівнобедрений трикутник АВС із основою ВС; AN - медіана трикутника. Тоді виходячи з властивості: АN є також висотою і бісектрисою.

На основі розглянутої властивості можна зробити висновки:

Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою; бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Приклад. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою ВС проведено висоту АN. Знайдіть її довжину, якщо периметр трикутника АВІУ дорівнює 30 см; а периметр трикутника АВС - 36 см.

Розв’язання, (мал. 214) 1) AN - висота рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, тому АN є також медіаною. Отже, ВN = NC.

2) Оскільки 

3) У