Збірник задач «Прямокутний трикутник»

Збірник задач «Прямокутний трикутник»

Довести властивості прямокутного трикутника

1. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 90⁰.
2. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 45⁰.
3. У прямокутному трикутнику напроти кута 30⁰ лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.
4. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів.
5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
6. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135⁰.
7. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
8. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.
9. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники..
10. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.
11. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
12. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
13. У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи.
14. У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи.
15. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
16. У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи.
17. У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута.
18. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів.
19. У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах.
20. У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах.
21. Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники.
22. Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники.
23. Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції.
24. Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми.
25. Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні..
26. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
27. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
28. У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2.
29. У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.
30. Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
31. Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів.
32. Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – прямий, тобто трикутник прямокутний.
33.  Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний.
34. Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.

1.     Площа прямокутного трикутника дорівнює а квадратних одиниць довжини. Знайти висоту, проведену до гіпотенузи, якщо вона ділить прямий кут у відношенні 1:2.

2.     Периметр прямокутного трикутника дорівнює 132, а сума квадратів усіх сторін – 6050. Знайти сторони трикутника.

3.     Периметр прямокутного трикутника дорівнює 24 см, а площа його дорівнює 24*(3^0,5) . Знайти площу описаного круга.

4.     Знайти відношення площі круга, вписаного у правильний трикутник, до площі круга, описаного навколо нього.

5.     Знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 3 см, а менший катет дорівнює 10 см.

6.     Відрізок, проведений з вершини прямого кута до середини гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 15 см, а різниця катетів – 6 см. Знайти периметр трикутника.

7.     В прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки довжиною в 5 і 12 см. Знайти катети трикутника.

8.     В прямокутному трикутнику довжини медіан гострих кутів дорівнюють m і n см. Знайти довжину гіпотенузи.

9.     Відрізок, що сполучає середини катетів прямокутного трикутника, дорівнює 25 см, а різниця катетів дорівнює 10 см. Обчислити периметр трикутника.

10.                       Точка дотику вписаного у прямокутний трикутник кола ділить його гіпотенузу на два відрізки, різниця між якими 4 см. Обчислити периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 20 см.

11.                       Точка на гіпотенузі, рівновіддалена від обох катетів, ділить гіпотенузу на відрізки, довжиною 30 см і 40 см. Знайти катети трикутника.

12.                       Точка, що належить катету прямокутного трикутника, віддалена від кінців гіпотенузи на 25 см. Відстань від цієї точки до другого катета дорівнює 7 см. Обчислити периметр трикутника.

13.                       Радіус кола описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а катет – 16 см. Знайти радіус вписаного кола.

14.                        Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник дорівнює 4 см, а катет – 12 см. Знайти радіус описаного кола.

15.                       Бісектриса прямого кута прямокутника ділить його діагональ на відрізки 20 см і 15 см. Обчислити площу прямокутника.

16.                       Бісектриса ділить гіпотенузу прямокутного трикутника у відношенні 3:4, а різниця катетів дорівнює 5 см. Обчислити периметр трикутника.

17.                       Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет у відношенні 5:4. Знайти інший катет трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

18.                       Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Знайти катети подібного йому трикутника, гіпотенуза якого дорівнює      35 см.

19.                       Кути відносяться, як 1:2:3. Обчислити кут між бісектрисою, проведеною з вершини найбільшого кута, та висотою, проведеною до найбільшої сторони трикутника.

20.                       Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Обчислити радіус вписаного кола.

21.                       Периметр прямокутного трикутника дорівнює 36 см, а різниця між гіпотенузою і одним з катетів – 3 см. Знайти другий катет трикутника.

22.                       Висота прямокутного трикутника. проведена до гіпотенузи,  ділить її  на відрізки 63 см і 112 см. Обчислити довжини відрізків, на які ділить її бісектриса прямого кута.

23.                       Діаметр кола, вписаного у прямокутний трикутник, дорівнює 8 см, а катет – 24 см. Обчислити радіус описаного кола.

24.                        Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 12см. Знайдіть відстань між точкою перетину його бісектрис і точкою перетину медіан.

25.                        Катети прямокутного трикутника дорівнюють m cm i  n см. Знайдіть довжину бісектриси, проведену з вершини більшого гострого кута трикутника.

26.                        Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими 10см. Обчисліть радіус описаного кола, якщо катети відносяться, як 3 : 4.

27.                        Катет прямокутного трикутника дорівнює 32см, а точка, що належить цьому катету,віддалена від кініцв гіпотенузи на 25см. Обчисліть периметр трикутника.

28.                        Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 20 і 25см. Знайдіть гіпотенузу подібного йому трикутника, висота якого, проведена до гіпотенузи, дорівнює 36см.

29.                        Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 7 і 2см. Знайдіть радіус вписаного кола. 

30.                        Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15 і 20см. Знайдіть площу трикутника.

31.                        Радіуси описаного і вписаного у прямокутний трикутник кіл відповідно дорівнює  15 і 6см.Обчисліть периметр трикутника.

32.                        Точка дотику вписаного у прямокутний трикутник кола ділить його гіпотенузу на відрізки 12 і 8см. Обчисліть діаметр цого кола.

33.                        Точка дотику вписаного у прямокутний трикутник кола ділить його гіпотенузу на відрізки у відношенні 3 : 2. Обчисліть периметр трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 20см.

34.                        Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 21 і 35см. Знайдіть площі частин трикутника, на які ділить його бісектриса прямого кута.

35.                        Центр півкола, вписаного у прямокутний трикутник так, що його діаметр лежить на гіпотенузі, ділить гіпотенузу на відрізки 30 і 40см. Знайти довжину дуги півкола, що розташована між точками дотику півкола з катетами.