Властивості бісектриси трикутника

Бісектри́са (лат. bis — двічі і лат. secare — розсікати, розтинати) — термін, що вживається вгеометрії для позначення кількох споріднених понять^[1]:

• Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута.
• Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Зміст

• 1 Властивості
• 2 Формули за участю довжини бісектриси
• 3 Див. також
• 4 Примітки
• 5 Джерела

Властивості

Побудова бісектриси

• Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрівписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
• Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
• Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
• Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,^[2] причому навіть за наявностітрисектора.^[3]
• В рівносторонньому трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
• Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC

Де:

•  — бісектриса, проведена до сторони с
•  — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
•  — довжини відрізків, на які бісектриса  ділить сторону с
•  — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
•  — висота трикутника, опущена на сторону c.

 Задачі  на властивість бісектрис трикутника

1. BD-бісектриса кута В трикутника АВС. Знайти:

1)відрізки AD і DC,якщо АВ=8см, ВС=14см, АС=11см;

2)сторону АВ, якщo AD : DC = 7:8, BC =24см;

3)сторону АС ,якщо АВ: ВС=2:3,CD-AD=3см;

4)сторони АВ,ВС і АС,якщо АВ +ВС=56см, AD=9см, DC=15см.

2.Точка D лежить на стороні АВ трикутника АВС.

Порівняти кути ACD і BCD,якщо АС=12см,ВС= 15 см,AD=6смBD=12см.

3.Бісектриса гострого кута гострого кута прямокутного трикутника ділить протилежний катет у відношенні 2:1.Знайти гострі кути трикутника.

4.Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 15см і 20см.Знайти катети.

5.Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет у відношенні 5:3,а різниця цих відрізків дорівнює 6см.Знайти сторони трикутника.

6.Висота BD трикутника АВС дорівнює 24см і ділить сторону АС на відрізки

AD=7см i DC=10см. На які відрізки ділить сторону АС бісектриса кута В?

7.Периметр прямокутника дорівнює 42см ,а його діагональ ділиться бісектрисою прямого кута на відрізки,довжини яких відносяться як3:4.Знайти діагональ прямокутника.

8.Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону  на відрізки довжиною 10см і 14см,починаючи від найближчої до цього кута вершини. На які відрізки ділить ця бісектриса діагональ прямокутника.

9.Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту,проведену з вершини тупого кута,на відрізки довжиною 15см і 12см,а бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі. Знайти сторони трапеції.

10.У трикутник АВС вписано ромб ADEF так,що кут А у них спільний, а вершина Е належить стороні ВС.З найти довжини відрізків ВЕ і ЕС,якщо АВ=21см, ВС=18см, АС=15см.