Довідник з геометрії прямокутного трикутника

Довідник з геометрії прямокутного трикутника

Властивості  прямокутних трикутників

1. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 90⁰.
2. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 45⁰.
3. У прямокутному трикутнику напроти кута 30⁰ лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.
4. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів.
5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
6. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135⁰.
7. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
8. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.
9. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники..
10. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.
11. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
12. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
13. У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи.
14. У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи.
15. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
16. У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи.
17. У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута.
18. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів.
19. У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах.
20. У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах.
21. Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники.
22. Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники.
23. Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції.
24. Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми.
25. Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні..
26. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
27. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
28. У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2.
29. У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.
30. Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
31. Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів.
32. Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – прямий, тобто трикутник прямокутний.
33.  Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний.
34. Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.
35. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30⁰ найменша висота  ділить гіпотенузу у відношенні 3:1, починаючи з вершини меншого кута.
36. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30⁰  бісектриса середнього кута ділить середню сторону у відношенні 1:2 починаючи від вершини прямого кута.
37. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 30⁰  найменша висота рівна половині більшого катета.
38. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75⁰  найменша висота рівна чверті гіпотенузи.
39.  У прямокутному трикутнику з гострим кутом 75⁰  найменша висота рівна половині радіуса описаного кола.
40. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 15⁰  найменша квадрат найменшої висоти рівний половині площі трикутника.
41. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60⁰  кожна сторона поділена точкою на дві частини  у відношенні 1:2, починаючи з вершини більшого кута. Ці три точки поділу сторін утворюють правильний трикутник, площа якого становить дві дев’ятих площі прямокутного трикутника. Ці три точки поділу сторін є точками дотику вписаного кола в даний прямокутний трикутник.
42. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60⁰  найменша висота ділить бісектрису середнього кута навпіл.
43. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60⁰  найменша медіана перпендикулярна до бісектриси середнього кута.
44. У прямокутному трикутнику з гострим кутом 60⁰  бісектриса середнього кута ділить навпіл найменшу медіану.
45. У прямокутному трикутнику найменша медіана ділить навпіл площу цього трикутника.
46. У прямокутному трикутнику сторони можуть виражаюти натуральними числами за формулами: а = m² – n²;  b = 2mn; c = m² + n² .

m/n	2	4	6	8	10	12
1	3, 4, 5	15, 8,17	35,12,37	63,16,65	99,20,101	143,24,145
3	5,12,13.	7, 24.25	-------------	55.48.73	91.60,109	--------------
5	21.20.29	9.40.41	11, 60, 61	38, 80, 89	-------------	169,120,119
7	45.28.53	33.56.65	13.84.85	15.112.113	51.140.149	95.169.193
9	77.36.85	65.72.97	------------	17.144.145	19.180.181	-------------
11	44.117.125	88.105.137	85.132.157	57.176.185	21.220.221	23.264.265
13	52.165.173	104.153.135	133.156.175	105.208.233	69.260.269	25.312.313
15	60.221.229	120.209.241	-----------	161.240.289	-------------	--------------
17	68.285.293	136.273.305	204.253.325	225.273.353	189.340.380	145.408.433
19	76.357.365	152.345.377	228.325.397	297.304.425	261.380.461	217.456.505
21	84.437.445	168.425.457	------------	366.377.505	341.420.541	--------------
23	92.525.533	184.513.540	276.493.565	368.468.593	429.460.629	385.552.673
25	100.621.629	200.609.641	589.300.661	400.561.689	-------------	481.600.769

Розв’язування  трикутників

Розв’язування рівностороннього трикутника

a

(2h∙30,5):3

Р/3

2p/3

R∙30,5

2r∙30,5

2/3(3S∙30,5)0,5

h

(a∙30,5)/2

(P∙30,5)/6

(p∙30,5)/3

3r/2

3r

(S∙30,5)0,5

P

3a

2h∙30,5

2p

3R∙30,5

6r∙30,5

2(3S∙30,5)0,5

p

3a/2

h∙30,5

p/2

(r∙30,5)/2

3r∙30,5

(3S∙30,5)0,5

R

(a∙35)/3

2h/3

(P∙30,5)/9

(2p∙30,5)/9

2r

2/3 ∙(S∙30,5)0,5

r

(а∙30,5)/6

h/3

P∙30,5/18

(P∙3)0,5/18

R/2

((S∙30,5)0,5)/3

S

(a2∙30,5)/4

(h2∙30,5)/3

(P2∙30,5)/36

(P2∙30,5)/9

(3R2∙30,5)

3r2∙30,5

Розв’язування прямокутного трикутника

a= 0,5c

b=30,5/2

b=30,5∙a

S=0,5∙30,5∙a2

S=30,5∙b2/6

S=30,5∙c2/8

S= r2+2Rr

Площа прямокутного трикутника(а і b катети)

S=0,5ab

S=0,5a2 tgβ

S=0,5a2ctgα

S=0,5b2tgα

S=0,5b2ctgβ

S=0,25c2sin2α

S=0,25c2sin2β

Рівнобедрений прямокутний  трикутник

b= a =20,5c;   ha =  hb = a =b;    ma= mb=0,5∙50,5∙a; mc= hb= lc= 0,5∙c;   S = 0,5∙a2 = 0,25c2

Прямокутний  трикутник