Геометричні задачі математичних олімпіад 7 – 9 клас

Геометричні задачі математичних олімпіад  7 – 9 клас

1. Дві   висоти   трикутника   ділять   його на  дві   пари рівновеликих частин. Знайти кути трикутника.

Відповідь: всі кути по 60⁰.

2.У прямокутному трикутнику добуток сторін у 4 рази більший   від   добутку   висот.   Знайти різницю гострих кутів трикутника.

Відповідь: 30⁰.

3. Чи завжди можна побудувати  трикутник,   сторони якого відповідно дорівнюють висотам іншого трикутника?

Відповідь: не завжди, розгляньте прямокутний трикутник, з катетами 6 см, 2 см.

4. Якщо, різниця двох сторін трикутника   дорівнює різниці висот,  проведених   до   цих сторін, то названі сто­рони лежать проти гострих кутів. Довести.

5. Висота рівнобедреного трикутника  дорівнює різниці радіусів описаного і вписаного кіл.   Знайти кути трикут­ника.

Відповідь: 36⁰, 36⁰, 108⁰.

6. Визначити величини всіх можливих кути між і коротки і довгими  діагоналями, якщо  їхні діагоналів лежать у різних вершинах рівностороннього шестикутника.

Відповідь: 60⁰, 120⁰, 90⁰.

7. Дві висоти   ромба,   проведені з  вершин його тупих кутів,   перетинаючись,   поділяються   у   відношенні    1:2.Визначити кути ромба.

Відповідь: 60⁰, 120⁰, 60⁰, 120⁰ .

8. Віддаль між кінцями двох висот ромба, проведених з   вершини   тупого   кута,   дорівнює   половині  діагоналі.Визначити кути ромба.

Відповідь: 30⁰, 150⁰, 30⁰, 150⁰

9. Дві   висоти   трикутника   не  менші   від   сторін,  до яких проведені. Визначити кути трикутника.

Відповідь: рівнобедрений прямокутний.

10. Висота   і   медіана   трикутника,   проведені з однієї вершини, поділили кут на   три   рівні частини. Знайти кути трикутника.

Відповідь: 60⁰, 30⁰, 90⁰.

11. Висота, бісектриса і медіана трикутника, проведені з однієї вершини, поділили кут на 4 рівні частини. Знайти цей кут трикутника.

Відповідь: 60⁰, 30⁰, 90⁰.

12. Знайти кути між найдовшими бісектрисами прямокутного трикутника.

Відповідь: 135⁰.

Геометричні задачі математичних олімпіад  8 – 9 клас

1.                Бісектриси   внутрішніх   кутів   трикутника    відно­сяться, як 2:2:1. Визначити кути трикутника.

2.                Один з кутів  рівнобедреного трикутника дорівнює 108°.   Знайти   відношення   довжин   бісектрис   внутрішніх кутів цього трикутника.

3.                Якщо   кути    опуклого   шестикутника   рівні   між собою, то різниці між паралельними сторонами шестикут­ника рівні між собою. Довести.

4.                Висота, проведена до гіпотенузи, ділить гіпотенузу у відношенні 1:3. Знайти гострі кути трикутника.

5.                Катети   прямокутного   трикутника   дорівнюють   42 і 56.   На   скільки  треба   подовжити  бісектрису  прямого кута трикутника до перетину з перпендикуляром до гіпо­тенузи, проведеним через середину гіпотенузи?

6.                Через точку М   всередині   трикутника АВС прове­дено пряму, яка    відтинає   трикутник,   подібний   даному. Визначити кількість прямих, що задовольняють умову.

7.                На висоті   АВ   прямокутного трикутника АВС по­будовано   коло,   яке   перетинає   катети  в  точках К і М; відрізок КМ перетинає АВ в точці Ь.  Знаючи, що з від­ різків АК, АL і АМ один є середнім пропорційним   двох інших, визначити гострі кути трикутника АВС.

8.                З двох пунктів,   віддаль   між   якими   300 м, спо­стерігач бачив стіну під кутами 30°, причому  один пункт містився на південь від одного кінця стіни, а другий –  на захід від другого   її  кінця. Визначити довжину стіни.

9.                Точка   М   лежить у площині   правильного шести­кутника АВСОЕР. Довести, що з відрізків МА, МВ, МС, МО, МЕ, МР можна побудувати шестикутник.

10.           Сторони прямокутника   відносяться, як 1:2. Через його вершину проведено пряму, що відтинає чотирикутник, в який можна вписати коло. В якому відношенні ця пряма ділить сторону прямокутника?

11.           Бісектриси   всіх   кутів  паралелограма обмежують чотирикутник,  в   який  можна вписати коло. Знайти кути паралелограма.

Сторони прямокутника відносяться, як 1:2. З точ­ки М сторони ВС видно під рівними кутами сторони   АВ і АВ. Знайти кут АМВ.

Навколо   прямокутника   описано   коло. З точки М цього кола опущено перпендикуляри  на діагоналі прямо­кутника.   Довести,   що віддаль між кінцями перпендику­лярів не залежить від вибору точки М.

Якщо в многокутник можна вписати коло і навколо нього можна описати коло, причому центри кіл збігаються, то цей многокутник — правильний. Довести.

В кожному чотирикутнику є сторона,  коротша від більшої з діагоналей. Довести.

Один з кутів  гострокутного трикутника   дорівнює півсумі двох інших. Довести, що кінці середньої сторони, центр вписаного кола і точка   перетину висот трикутника лежать на одному колі.

На площині дано k точок, які не лежать на одній прямій.   Довести,   що   їх   можна    послідовно   сполучити замкнутою ламаною без самоперетину (k> 3).

Всередині опуклого n-кутника взято k точок так, що ніякі три з цих точок і вершин «-кутника не лежать на одній прямій. Ці n + k точок сполучено відрізками так, що многокутник поділився на трикутники, причому кожна точка є вершиною принаймні одного трикутника і ніякі інші точки не є вершинами трикутників. Визна­чити кількість утворених таким чином трикутників.

Довести, що  в прямокутному трикутнику добуток радіуса вписаного кола на радіус описаного кола більший  від площі трикутника.

Площа прямокутника є середнє арифметичне площ квадратів, побудованих на його сторонах. Знайти кут між діагоналями прямокутника.

Довести,   що   площа   чотирикутника не перевищує добутку півсум протилежних сторін.

Площа    гострокутного   трикутника   дорівнює   5. З середини   кожної   сторони   опущено перпендикуляри на інші сторони. Знайти   площу  шестикутника,   обмеженого цими перпендикулярами.

У   правильний   шестикутник   площею   5   вписано трикутник найбільшої можливої   площі. Знаючи, що одна із сторін   трикутника  паралельна   стороні шестикутника, визначити площу трикутника.

Діагоналі   чотирикутника    АВСО    перетинаються в точці О. Площа чотирикутника,  вершинами..якого є центри ваги   трикутників   АБО,   ВСО,  СБО,   ОАО,   дорівнює 5. Знайти площу чотирикутника АВСО.

Чотирикутник   АВСО   поділено   на   три   частини відрізками,   які   не   перетинаються   і   ділять сторони ВС і АО на три рівні частини. Довести, що площа середньої частини становить   третину   площі   чотирикутника АВСО.

Периметр   паралелограма   АВСО   дорівнює  80 см. Бісектриси   кутів А і О  перетинаються в такій точці М, що відрізок   АМ   поділяється   стороною ВС у відношенні 1:3. Знайти довжини сторін паралелограма.

Периметр  паралелограма   АВСО   дорівнює 45 см.  Бісектриси   кутів  А і О перетинаються  в такій точці М, що відрізок АМ поділяється стороною ВС пополам. Знайти довжини сторін паралелограма.

Бісектриси   кутів   ВАС і ВОС   ромба АВСО пере­тинаються на його стороні. Визначити кути ромба.

Площа квадрата, побудованого на діагоналі прямокутника, в 4 рази більша від площі прямокутника. Знайти кут   між   діагоналями прямокутника.

ВК   і   СЕ – висоти   ромба   АВСО.   М – середина відрізка   КО,   Р  –середина   висоти СЕ.  Знайти кут між прямими АР і ВМ.

У кожному паралелограмі сума  квадратів діагона­лей не менша від почетвереної його площі. Довести.

Сума квадратів діагоналей паралелограма  в 4 рази більша від його площі. Знайти кути паралелограма.

Периметр паралелограма   дорівнює Р,  гострий кут його дорівнює а. З вершин тупих кутів  проведено висоти паралелограма.  Визначити   периметр паралелограма, обме­женого цими висотами.

К, L і М – точки, симетричні  центру кола, описаного   навколо  трикутника   АВС,    відносно   його   сторін. Довести,   що   трикутники  КLМ  і   АВС рівні між собою.

У прямокутнику АВСО відомі сторони: АВ = 48 см, АО = 73 см.   На   стороні   ВС   вибрано  точку М так, що відрізки   АВ   і   АО  з неї видно під рівними кутами. На які частини точка М ділить сторону ВС?

Внутрішні   кути   двох   правильних    многокутників відносяться, як 5:7. Як відносяться кількості вершин цих многокутників?

Сторони двох правильних   многокутників однакові, а внутрішні кути відносяться, як  1:2. Знайти відношення площ цих многокутників.

Довести, що різниця між найбільшою і найменшою діагоналями   правильного  дев'ятикутника   дорівнює   його стороні.

Квадрат   вписано   в   коло.   Через   середини сторін квадрата   проведено   прямі,   відповідно   паралельні   його діагоналям.   Знайти   градусну  величину кожної з дуг, на які ці прямі ділять коло.

У трикутнику кут А дорівнює півсумі двох інших. Пряма   АМ  перетинає   сторону   ВС   в  точці  М так, що ÐАМВ = 60° і ВМ = 2 • МС. Знайти кут АВС.

У трикутнику АВС кут  С дорівнює 45°. Точка М міститься    на    стороні    ВС    так,    що   СМ: МВ =1:2 і ÐАМВ = 60°. Знайти кути трикутника АВС.

Кут В, що лежить між рівними сторонами трикут­ника   АВС,   дорівнює   80°.   Всередині    трикутника    взято точку М так, що  ÐМАС = 10°  і  Ð МСА = 30°.   Знайти кут АМВ.

Кут між рівними  сторонами  АВ і ВС   трикутника АВС дорівнює 80°. Поза трикутником взято точку М так, що ÐМАС = 10° і Ð МСА = 30°. Довести, що трикутник АВМ – рівносторонній.

Основи трапеції дорівнюють а і 3а. Середину кож­ної основи   сполучено   з   кінцями другої. Знайти віддаль між точками перетину проведених відрізків.

Основи трапеції дорівнюють 6 і 24. Середину мен­шої основи сполучено   з   кінцями  другої.   Проведені від­різки перетинаються з діагоналями в точках К і М. Знайти довжину відрізка КМ.

У трикутник вписано квадрат так, що дві вершини його лежать на основі трикутника, а дві інші — на бічних сторонах. Довести, що сторона квадрата більша від радіуса, але менша від діаметра кола, вписаного в цей трикутник.

Сторона   правильного   шестикутника   дорівнює   а. Через вершину шестикутника проведено пряму, яка ділить його на частини, площі яких відносяться, як 1:3. Знайти довжину   відрізка   цієї   прямої,   який лежить   всередині шестикутника.

АМ – висота     гострокутного    трикутника     АВС; точки М1   і   М2   симетричні  точці М відносно сторін АВ і АС.   Довести,   що   точки   М1   і   М2 та кінці висот ВВ1 і СС1лежать на одній прямій.

Якщо всі кути опуклого восьмикутника   рівні між собою, а всі сторони сумірні, то він правильний. Довести.

У трикутнику АВС   сторони   АВ = ВС.  Перпенди­куляр до АВ в точці А перетинає продовження висоти ВО в точці   М.   Довести,   що   різниця   відрізків  АМ   і   МО дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник АВС.

Розрізати квадрат на тупокутні трикутники.

Вирізати   з  правильного шестикутника найбільший можливий квадрат.

Вирізати   з правильного п'ятикутника найбільший можливий квадрат.

Вирізати  з  правильного шестикутника найбільший можливий рівносторонній трикутник.

Вирізати з квадрата найбільший можливий правиль­ний шестикутник.

Розрізати квадрат на гострокутні трикутники.

Розрізати   правильний   шестикутник   на  найменшу можливу кількість частин, з яких можна скласти трикут­ник з відношенням кутів 1:2:3.